Question

【題目】已知函數，若存在唯一的零點，且，則實數_______

Answer 1

【答案】

【解析】

(i)當a=0時,f(x)=3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函數f(x)有兩個零點，舍去。

(ii)當a≠0時,f′(x)=3ax26x=3ax(x),令f′(x)=0,解得x=0或2a.

①當a<0時, <0,當x<或x>0時,f′(x)<0,此時函數f(x)單調遞減;當<x<0時,f′(x)>0,此時函數f(x)單調遞增。

∴是函數f(x)的極小值點,0是函數f(x)的極大值點。

∵函數f(x)=ax33x2+1存在唯一的零點x0,且x0<0,則，無解，舍去。

②當a>0時, >0,當x>或x<0時,f′(x)>0,此時函數f(x)單調遞增;當0<x<時,f′(x)<0,此時函數f(x)單調遞減。

∴是函數f(x)的極小值點,0是函數f(x)的極大值點。

∵函數f(x)=ax33x2+1存在唯一的零點x0,且x0<0,則f(>0,即+1>0，a>0，解得a>2.

綜上可得：實數a的取值范圍是(2,+∞).

故答案為：(2,+∞).