Question

某企業為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產．已
知投資生產這兩種產品的有關數據如下表：(單位：萬美元)

項目類別	年固定成本	每件產品成本	每件產品銷售價	每年最多可生產的件數
A產品	10	m	5	100
B產品	20	4	9	60

其中年固定成本與年生產的件數無關，m為待定常數，其值由生產A產品的原材料價格決定，預計m∈[3,4]．另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x²萬美元的特別關稅．假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
(1)寫出該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y₁，y₂與生產相應產品的件數x之間的函數關系并指明其定義域；
(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規劃．

Answer 1

（1）y₁=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N，y₂=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N；
（2）當3≤m＜3.85投資A產品200件可獲得最大利潤；當3.85＜m≤4投資B產品100件可獲得最大利潤；m=3.85生產A產品與B產品均可獲得最大年利潤。

試題分析：（1）y₁=5x-（10+mx）=（5-m）x-10，0＜x≤100，且x∈N
y₂=9x-（4x+20）-0.05x²=-0.05x²+5x-20，0＜x≤60且x∈N
（2）∵3≤m≤4∴5-m＞0∴y₁=（5-m）x-10為增函數
又0≤x≤100，x∈N∴x=100時，生產A產品有最大利潤（5-m）×100-10=490-100m（萬美元）
y₂=-0.05x²+5x-20=-0.05（x-50）²+105,0≤x≤60，x∈N
∴x=50時，生產B產品有最大利潤105（萬美元）（y₁）_max-（y₂）_max="490-100m" -105=385-100 m                           
當3≤m＜3.85時，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
當m=3.85時，（y₁）_max-（y₂）_max=0
當3.85＜m≤4時，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴當3≤m＜3.85投資A產品200件可獲得最大利潤
當3.85＜m≤4投資B產品100件可獲得最大利潤
m=3.85生產A產品與B產品均可獲得最大年利潤
點評：考查把實際問題轉化為抽象函數模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，屬中檔題．