Question

直線l與拋物線y²=4x交于兩點A、B，O為原點，且

OA

•

OB

=-4
（1）求證：直線l恒過一定點；
（2）若4

6

≤|AB|≤4

30

，求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）設拋物線的焦點為F，∠AFB=θ，試問θ角能否等于120°？若能，求出相應的直線l的方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）若直線l與x軸不垂直，設其方程為y=kx+b，l與拋物線y²=4x的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據

OA

•

OB

=-4求得y₁y₂，把直線與拋物線方程方程聯立消去x根據韋達定理求得y₁y₂的表達式進而可求得b和k的關系，整理直線方程可知直線l過定點（2，0）；若直線l⊥x軸，易得x₁=x₂=2，則l也過定點（2，0）．
（2）由（1）可求得|AB|²的表達式，從而根據4

6

≤|AB|≤4

30

求得k的范圍．
（3）假定θ=

2

3

p，則可得cosθ，根據拋物線定義得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．從而表示出|AF|²+|BF|²-|AB|²和|AF|•|BF|代入

|AF|2+|BF|2-|AB|2

2|AF|•|BF|

=-

1

2

整理得x₁+x₂+1=0與x₁＞0且x₂＞0相矛盾，經檢驗，當AB⊥x軸時，θ=2arctan2

2

＞

2

3

p．綜合可知，θ≠

2

3

p．

解答：解：（1）1°若直線l與x軸不垂直，設其方程為y=kx+b，
l與拋物線y²=4x的交點坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OA

•

OB

=-4得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y 2 1 y 2 2

16

+y₁y₂=-4，
則y₁y₂=-8．
又由

y2=4x y=kx+b

得ky²-4y+4b=0（k≠0）．
則y₁y₂=

4b

k

=-8，即b=-2k，
則直線l的方程為y=k（x-2），則直線l過定點（2，0）．
2°若直線l⊥x軸，易得x₁=x₂=2，則l也過定點（2，0）．
綜上，直線l恒過定點（2，0）．

（2）由（I）得|AB|²=（1+

1

k2

）（y₂-y₁）²=

1+k2

k2

（

16

k2

+32）
從而6≤

1+k2

k2

（

1

k2

+2）≤30．
解得k∈[-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1]．

（3）假定θ=

2

3

p，則有cosθ=-

1

2

，
如圖，即

|AF|2+|BF|2-|AB|2

2|AF|•|BF|

=-

1

2

（*）
由（1）得y₁y₂=-8，x₁x₂=

y 2 1 y 2 2

16

=4．
由定義得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
從而有|AF|²+|BF|²-|AB|²=（x₁+1）²+（x₂+1）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=-2（x₁+x₂）-6，
|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5
將代入（*）得

-2(x1+x2)-6

2(x1+x2)+10

=-

1

2

，即x₁+x₂+1=0．
這與x₁＞0且x₂＞0相矛盾！
經檢驗，當AB⊥x軸時，θ=2arctan2

2

＞

2

3

p．
綜上，θ≠

2

3

p．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的關系．直線與圓錐曲線的關系是高考的熱點問題．試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點考查學生的作圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算，以及運用數學知識分析問題和解決問題的能力．