Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，長軸長為4，M為右頂點，過右焦點F的直線與橢圓交于A、B兩點，直線AM、BM與x=4分別交于P、Q兩點，（P、Q兩點不重合）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當直線AB與x軸垂直時，求證：

FP

•

FQ

=0
（3）當直線AB的斜率為2時，（2）的結論是否還成立，若成立，請證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的基本量，得出a值，再結合離心率的公式得出c的值，最后得出b²=

a2-c2

=3，從而得出橢圓的標準方程；
（2）直線AB與x軸垂直，將x=1代入橢圓方程求出交點A、B的坐標，然后用向量共線的方法分別計算出P、Q兩點的坐標，從而得出向量

FP

和

FQ

的坐標，最后用數量積的坐標計算公式可證出

FP

•

FQ

=0；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用點斜式得出直線AB的方程為y=2（x-1），將其與橢圓方程聯解消去y得關于x的方程，然后利用根與系數的關系，得出x1+x2=

32

19

，x1x2=

4

19

，再利用直線的斜截式方程得y1y2=

-36

19

，最后利用三點共線得出y₃關于x₁，y₁的表達式和y₄關于x₂，y₂的表達式，將它們代入到向量

FP

和

FQ

的坐標表達式中，化簡可得：

FP

•

FQ

=0，結論仍然成立．

解答：解：（1）由題意有2a=4，a=2，e=

c

a

=

1

2

，c=1，b²=3
∴橢圓的標準方程為 

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）直線AB與x軸垂直，則直線AB的方程是x=1
則A（1，

3

2

）B（1，-

3

2

），M（2，0）
AM、BM與x=1分別交于P、Q兩點，A，M，P三點共線，

AM

，

MP

共線             …（4分）
可求P（4，-3），∴

FP

=(3，-3)，
同理：Q（4，3），

FQ

=(3，3)
∴

FP

•

FQ

=0命題成立．                     …（5分）
（3）若直線AB的斜率為2，∴直線AB的方程為y=2（x-1），
又設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
聯立

y=2(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消y得 19x²-32x+4=0
∴x1+x2=

32

19

，x1x2=

4

19

∴y1y2=4(x1-1)(x2-1)=

-36

19

…（7分）
又∵A、M、P三點共線，
∴y3=

2y1

x1-2

同理y4=

2y2

x2-2

∴

FP

=(3，

2y1

x1-2

)，

FQ

=(3，

2y2

x2-2

)
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1+x2)+4

=0
綜上所述：

FP

•

FQ

=0，結論仍然成立…（10分）

點評：本題以圓錐曲線為載體，考查了直線的方程、直線與橢圓的位置關系和平面向量的數量積等知識點，屬于難題．解題時應該注意設而不求與轉化化歸等思想的運用．