Question

某種家電器每臺的銷售利潤與該電器無故障使用時間T（單位：年）有關，若T≤1，則銷售利潤為0元，若1＜T≤3，則銷售利潤為100元，若T＞3，則銷售利潤為200元，設每臺該種電臺無故障使用時間T≤1，1＜T≤3及T＞3這三種情況發生的概率為P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）記ξ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求ξ的分布列和期望

Answer 1

分析：（1）根據題目中所給的三種情況發生的概率P₁，P₂，P₃之間的關系，寫出關于三個概率的關系式，即三個概率之和是1，又兩個概率是一元二次方程的解，根據根和系數之間的關系，寫出結果．
（2）ξ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，則ξ的可能取值為0，100，200，300，400，結合變量對應的事件寫出變量的分布列，做出數學期望．

解答：解：（1）由已知P₁+P₂+P₃=1，
∵P₂=P₃，∴P₁+2P₂=1
∵P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，
∴P1+P2=

3

5

，∴P1=

1

5

，P2=P3=

2

5

（2）ξ的可能取值為0，100，200，300，400
P(ξ=0)=

1

5

×

1

5

=

1

25

P(ξ=100)=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

P(ξ=200)=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=300)=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

P(ξ=400)=

2

5

×

2

5

=

4

25

∴隨機變量ξ的分布列為：

Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240元

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查概率的性質，考查一元二次方程根和系數之間的關系，是一個綜合題目．