Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實數a，b的值；
（2）設g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函數．
①求實數m的最大值；
②當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）求導函數可得f′（x）=x²-2x+a
∵函數在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2，∴

f′(0)=3 f(0)=-2

，∴

a=3 b=-2

．
（2）①由g(x)=f(x)+

m

x-1

=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′（x）=x2-2x+3-

m

(x-1)2

．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立．
設（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立
當m≤0時，不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立．
當m＞0時，設y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）
因為y′=1+

m

t2

＞0，所以函數y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上單調遞增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
綜上，m的最大值為3．
②由①得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其圖象關于點Q（1，

1

3

）成中心對稱．
證明如下：∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

=-

1

3

x3+x2-3x+

8

3

+

3

1-x

因此，g（x）+g（2-x）=

2

3

．
∴函數g（x）的圖象關于點Q成中心對稱．
∴存在點Q（1，

1

3

），使得過點Q的直線若能與函數g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．