Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函數g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數a的取值范圍
（2）當x，y∈^N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）先求出g（x）的解析式，設曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，建立等式，根據log₂（x³+ax²+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax₀-8＜0，使得2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，求出a的取值范圍即可；
（2）令函數h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的導函數，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的導函數，根據p（x）導函數的正負，判斷p（x）的增減性，進而得到p（x）小于0，且得到h（x）導函數的正負，得到h（x）的增減性，利用函數的增減性即可得證．

解答：解：（1）g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設知log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g′（x）=3x²+2ax+b，3x²₀+2ax₀+b=-8  ①
∴存在實數b使得-4＜x₀＜-1       ②有解，
x³₀+ax²₀+bx₀＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax₀，代入③得-2x02-ax₀-8＜0，
∴由   2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10
（2）令 h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令 p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x＞0，
∴p′（x）=

1

(1+x)2

-

x

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，∴p（x）在[0，+∞）單調遞減．
∴當x＞0時有p（x）＜p（0）=0，∴當x≥1時有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）單調遞減，
∴1≤x＜y時，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當x，y∈N^*且x＜y時，F（x，y）＞F（y，x）．

點評：本題主要考查了學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據導函數的正負確定函數的單調性，屬于中檔題．