Question

設T_n為數列{a_n}的前n項的積，即T_n=a₁•a₂…•a_n．
（1）若T_n=n²，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}滿足T_n=

1

2

（1-a_n）（n∈N^*），證明數列{

1

Tn

}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（3）數列{a_n}共有100項，且滿足以下條件：
①a₁•a₂…•a₁₀₀=2；
②a₁•a₂…•a_k+a_k+1•a_k+2…a₁₀₀=k+2（1≤k≤99，k∈N^*）．
（Ⅰ）求a₅的值；
（Ⅱ）試問符合條件的數列共有多少個？為什么？

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用作商法求a_n；
（2）利用等差數列的定義證明數列{

1

Tn

}為等差數列，并求得{a_n}的通項公式；
（3）（Ⅰ）由題意聯立方程組求得T₄，T₅，則a₅=

T5

T4

即得；
     （Ⅱ）由（Ⅰ）可得T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根（△＞0），當數列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積T_k確定，由T_k+1可得到兩個a_k+1，即得符合條件的數列共有2⁹⁹個．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=T₁=1； 當n≥2時，a_n=

Tn

Tn-1

=

n2

(n-1)2

，
∴a_n=

1，n=1 n2 (n-1)2 ，n≥2

                                      …（4分）
（2）當n=1時，a₁=T₁=

1

2

（1-a₁），所以a₁=

1

3

，當n≥2時，2T_n=1-a_n=1-

Tn

Tn-1

，
所以

1

Tn

-

1

Tn-1

=2，數列{

1

Tn

}為等差數列             …（8分）

1

Tn

=3+2（n-1）=2n+1，T_n=

1

2n+1

，a_n=1-2T_n=

2n-1

2n+1

 …（10分）
（3）（Ⅰ）由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…•a₄+a₅•a₆…a₁₀₀=6；可得T₄=3±

7

，
由a₁•a₂…•a₁₀₀=2，a₁•a₂…a₅+a₆•a₇…a₁₀₀=7，可得T₅=

7± 41

2

，
所以a₅=

T5

T4

=

7+ 41

2(3± 7)

或a₅=

7- 41

2(3± 7)

．  …（13分）
（Ⅱ）a₁+a₂…•a₁₀₀=3，所以a₁=1或2
T_k是方程x²-（k+2）x+2=0的一個實根（△＞0），
當數列前k（2≤k≤98）項確定后，其前k項積T_k確定，由T_k+1可得到兩個a_k+1
所以符合條件的數列共有2⁹⁹個．…（18分）

點評：本題主要考查作商法求數列通項公式及利用定義證明數列為等差數列，考查利用方程組的思想解決問題的能力，綜合性強，屬難題．