Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

，對任意m∈[-3，3]，不等式f（mx-1）+f（2x）＜0恒成立，則實數x的取值范圍為（　　）

• A．（-1，

  1

  5

  ）
• B．（-2，

  2

  3

  ）
• C．（-2，

  1

  3

  ）
• D．（-2，

  1

  5

  ）

Answer 1

分析：先判斷函數f（x）的奇偶性和單調性，利用奇偶性和單調性將不等式進行轉化，即可求出x的取值范圍．

解答：解：函數f（x）的定義域為R，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函數f（x）是奇函數．
又f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵函數y=2^x+1在R上單調遞增，且y＞0，
∴y=

2

2x+1

在R上單調遞減，y=-

2

2x+1

在R上單調遞增，
即函數f（x）在R上單調遞增．
由f（mx-1）+f（2x）＜0得f（mx-1）＜-f（2x）=f（-2x），
∴mx-1＜-2x，
即mx+2x-1＜0，
設g（m）=mx+2x-1，
∵m∈[-3，3]，
∴滿足

g(3)＜0 g(-3)＜0

，
即

5x-1＜0 -x-1＜0

，
∴

x＜ 1 5 x＞-1

，即-1＜x＜

1

5

．
故選：A．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷以及應用，綜合性較強，考查學生的轉化意識．