Question

（12分）直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，
(1)求的取值范圍
(2)當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn).

Answer 1

(1) ；（2）。

試題分析：（1）利用直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以它們的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情況下，判別式應(yīng)大于零.
(2)以AB為直徑的圓過原點(diǎn)實(shí)質(zhì)是,
從而借助直線方程和韋達(dá)定理得到關(guān)于a的方程求出a值.
(1) 由  可得：,依題意得
，
解之得：……6分
（2）、設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意可知，所以：，由(1)知，
所以：
所以：，即………12分.
點(diǎn)評(píng)：（1）直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過它們的方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的方程的根的個(gè)數(shù)來判斷，進(jìn)而可利用在保證二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情況下，通過判別式來判斷.
（2）以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得.