Question

某地區地理環境偏僻，嚴重制約著經濟發展，某種土特產品只能在本地銷售.該地區政府每投資x萬元，所獲利潤為P=-(x-40)²+10萬元.為順應開發大西北的宏偉決策，該地區政府在制訂經濟發展十年規劃時，擬開發此種土特產品，而開發前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元.若開發該產品，必須在前5年中，每年從60萬元專款中拿出30萬元投資修通一條公路，且5年可以修通，公路修通后該土特產品在異地銷售，每投資x萬元，可獲利潤Q=-（60-x）²+(60-x)萬元.問：從10年的總利潤來看，該項目有無開發價值？

Answer 1

解析：若按原來投資環境不變，由題設知，每年只需從60萬元專款中拿出40萬元投資，即可獲最大利潤10萬元.這樣10年總利潤最大值為W=10×10=100萬元.

    若對該產品開發，則前5年中，當x=30時，

    P_max=,前5年總利潤為W₁=×5=萬元；設后5年中，x萬元用于本地銷售投資，60-x萬元用于異地銷售投資，則總利潤

    W₂=［-（x-40）²+10］×5+［-x²+x］×5=-5(x-30)²+4 500，

   當x=30時，（W₂）_max=4 500，

    ∴10年總利潤最大值為+4 500萬元.

    因+4 500＞100，故該項目具有極大的開發價值.