Question

如圖，已知三棱錐P－ABC是正三棱錐，求證：

(1)它的各個側面與底面所成的角相等；

(2)正三棱錐底面積與側面積S之比是各個側面與底面所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)因三棱錐P－ABC是正三棱錐，故頂點P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心，如圖，連結AO、BO、CO，并延長分別交對邊于D、E、F三點． 　　∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，OD＝OE＝OF． 　　又∵PO⊥BC，∴BC⊥面PAD∴BC⊥PD 　　∴∠PDA就是側面PBC與底面ABC所成二面角的平面角． 　　同理，∠PEB、∠PFC分別是另兩個側面與底面所成二面角的平面角． 　　可證得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO， 　　∴∠PEB＝∠PFC＝∠PDA 　　(2)由∠PEB＝∠PFC＝∠PDA， 　　∴cos∠PEB＝cos∠PFC＝cos∠PDA， 　　即cos∠PEB＝． 　　∴cos∠PEB＝． 　　思路分析：(1)本題首先要作出各個側面與底面所成的二面角．以側面PBC為例，取BC的中點D，連結PD、AD，則易證BC⊥PD，BC⊥AD，從而∠PDA就是側面PBC與底面ABC所成二面角的平面角．(2)注意側面△PBC與其在底面上的投影△OBC是底邊相等的三角形，且它們的高同在Rt△PDO中，且比例恰為側面與底面所成角的余弦值，從而易得其面積的比例關系．

提示：

我們把△BOC稱作△PBC在底面上的射影三角形．若把射影△BOC的面積記作，△PBC的面積記作S，兩個三角形所在平面夾角為，則可以得到這樣一個結論：cos＝．運用這個結論，可以解決二面角的平面角特別是圖形中無棱的二面角的平面角的探求問題(在解答題中，一般需先給予證明)．