Question

【題目】已知橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率為，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓相交于、兩點，且，，若原點在以為直徑的圓外，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意分別確定a,b的值，據此即可確定橢圓方程；

(2)聯立直線方程與橢圓方程，直線與橢圓相交，則，原點在以為直徑的圓外，則，據此結合韋達定理得到關于斜率的不等式，求解不等式即可確定的取值范圍.

（1）依題意，可設橢圓的方程為.

∵離心率為，∴，即，∴，

∵橢圓經過點，∴.

解得，∴，，∴橢圓的方程為.

（2）記、兩點坐標分別為，，

由消去，得，

∵直線與橢圓有兩個交點，

∴，∴，

由韋達定理，，

∵原點在以為直徑的圓外，∴為銳角，

∵，，

∴為銳角，∴，

∵

.

∴，∴.

∵，∴，

∴的取值范圍為.