Question

（本小題滿分14分）

已知：函數.

(1) 若，且在上的最大值為，最小值為，令，求的表達式；

(2) 在(1)的條件下，求證：；

（3）設，證明對任意的，.

Answer 1

解：（1）∵

由得 ∴.-----------------------2分

當，即時，,故；-----------3分

當，即時，，故.-------------4分

∴-------------------------------------------------5分

（2）∵當時，，∴函數在上為減函數；---------6分

當時，，∴函數在上為增函數，-------------7分

∴當時，取最小值，,-------------------------------8分

故.------------------------------------------------------------------9分

（3）∵當時，拋物線開口向上，對稱軸為，

∴函數在上為增函數，-----------------------------------------------------------10分

（或由得，∴函數在上為增函數）

不妨設，由得

∴

令，----------------------------------12分

∵拋物線開口向上，對稱軸為，且

∴函數在上單調遞增，∴對任意的，

有，即-----------14分