Question

【題目】如圖，在由三棱錐和四棱錐拼接成的多面體中，平面，平面平面，且是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形.

（1）求證：平面；

（2）若多面體的體積為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，證明平面，又平面，可以得到，再由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到平面；

（2）由求出長(zhǎng)，再以點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求與平面所成角的正弦值.

（1）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，是正三角形，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

又平面，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）由題意，

，

解得，

以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖直角坐標(biāo)系，

是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形.則

，，，，

，，；

設(shè)平面的法向量為，

則，

令，則，，所以，

設(shè)與平面所成角為，

則.

故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.