Question

已知a、b、c均為正實數，且a+b+c=1，求

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．

Answer 1

考點：一般形式的柯西不等式

專題：計算題,不等式

分析：根據柯西不等式（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²≤（x₁²+x₂²+x₃²）（y₁²+y₂²+y₃²），將原式進行配湊并結合已知條件a+b+c=1加以計算，即可得到

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．

解答： 解：因為a、b、c＞0，
所以（

a+1

+

b+1

+

c+1

）²=（

a+1

•1+

b+1

•1+

c+1

•1）²
≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分
于是

a+1

+

b+1

+

c+1

≤2

3

，
當且僅當

a+1

=

b+1

=

c+1

，即a=b=c=

1

3

時，取“=”．
所以，

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值為2

3

…10分．

點評：本題給出三個正數滿足a+b+c=1，求

a+1

+

b+1

+

c+1

的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，屬于中檔題．