Question

如果數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且

an• a   n-1

an-1-an

=

an•an+1

an-an+1

，則此數列的第10項為（　�。�

• A．

  1

  210

• B．

  1

  29

• C．

  1

  10

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：把已知的遞推式取倒數，得到新數列{

1

an

-

1

an-1

}構成以

1

a2

-

1

a1

為首項，以1為公比的等比數列．求出該等比數列的通項后利用累加法可得數列{a_n}的第10項．

解答：解：由

an• a   n-1

an-1-an

=

an•an+1

an-an+1

，得

an-1-an

an•an-1

=

an-an+1

an•an+1

，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

an+1

-

1

an

，
即

1 an+1 - 1 an

1 an - 1 an-1

=1．
∴{

1

an

-

1

an-1

}構成以

1

a2

-

1

a1

為首項，以1為公比的等比數列．
∵a₁=2，a₂=1，∴

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

．
則

1

an

-

1

an-1

=

1

2

×1n=

1

2

．
∴

1

a2

-

1

a1

=

1

2

．

1

a3

-

1

a2

=

1

2

．
…

1

a10

-

1

a9

=

1

2

．
累加得：

1

a10

=

1

a1

+

9

2

=

1

2

+

9

2

=5．
∴a10=

1

5

．
故選：D．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了數列構造法，訓練了累加法求數列的和，是中檔題．