Question

【題目】已知.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先求出，再令，解得，，比較與，的大小關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（2）首先根據(jù)有兩個(gè)極值得到且，再求出的解析式，證明恒小于即可.

（1），且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

令，得，.

①當(dāng)，即時(shí)，

，，為減函數(shù)；，，為增函數(shù).

②當(dāng)，即時(shí)，

，，為增函數(shù)；，，為減函數(shù)；

，，為增函數(shù)；

③若，即時(shí)，，在為增函數(shù)；

②當(dāng)，即時(shí)，

，，為增函數(shù)；，，為減函數(shù)；

，，為增函數(shù).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

（2）由（1）知當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)、.

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換元令，設(shè)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.

恒成立，

恒成立

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