Question

（本小題滿分14分）

      

若一個數列各項取倒數后按原來的順序構成等差數列，則稱這個數列為調和數列．已知數列是調和數列，對于各項都是正數的數列，滿足．

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

（Ⅱ）把數列中所有項按如圖所示的規律排成一個三角形數表，

當時，求第行各數的和；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數列，若數列滿足

，求證：數列為等差數列.

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）證明：因為，且數列中各項都是正數，

所以 ．

設，                ①

因為數列是調和數列，故，．

所以．                                  ②

由①得，

代入②式得，即.

故. 所以數列是等比數列．    ………………………………5分

（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有個數，

所以三角形數表中第1行至第行共含有個數.

因此第行第1個數是數列中的第項.

故第行第1個數是，

所以第行各數的和為．  …………10分

（Ⅲ）由 ，得，

即，所以，         ①

                         ②

②—① 得 ，

即，   ③

，   ④

④-③ 得 ，即.

所以為等差數列．           ………………………………………………14分