Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是矩形， 平面， . ， 分別是線段的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)

【解析】試題分析：

(I)做出輔助線，由題意可證得結合線面平行的判斷定理可得平面.

(II)由題意建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量和平面的法向量可得與平面所成角的正切值是.

試題解析：

（Ⅰ）證明：取中點，連接.在中， 分別是線段的中點，所以且；又在矩形中， 且，故且，四邊形是平行四邊形， 面， 面，所以平面.

（Ⅱ）方法一：如圖，把原幾何體補成一個以等腰直角三角形為底面的直三棱柱.由于，所以與平面所成角即為與平面所成角.

又面，所以為與平面所成角的平面角.

. 與平面所成角的正切值.

解法二：如圖，以為坐標原點， 分別為軸， 軸建立空間直角坐標系，則.所以，

又平面，所以平面的法向量可為.

設與平面所成角為， ，

所以與平面所成角的正切值為.