Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{a_n²}的前n項和為T_n，滿足a₁=1，Tn=

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3

-

1

3

(p-Sn)2，其中p為常數．
（1）求p的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）①是否存在正整數n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差數列？若存在，指出n，m，k的關系；若不存在，請說明理由；
②若對于任意的正整數n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，求出實數x，y的值．

Answer 1

分析：（1）令n=1，代入Tn，求出p的可能取值，經過驗證，確定最終的值2．利用a_n與Sn，a_n^2_與Tn的關系，轉化，尋求{a_n}的性質，根據性質求通項．
（2）①假設存在n，m，k（n＜m＜k），列出關系式，探討有無解或關系②轉換成恒成立問題，注意a⁰=1（a≠0）的使用．

解答：解：（1）當n=1時，T_n=

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1

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(p-S1)2，即1=

4

3

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1

3

(p-1)2，∴p=0或p=2
當p=0時，T_n=

4

3

-

1

3

S12．將n=2代入，得1+a₂²=

4

3

-

1

3

(1+a2)2．
∴a₂=0，或∴a2=-

1

2

與a_n＞0矛盾．∴p≠0
當p=2時，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2   ①
將n=2代入，得1+a22=

4

3

-

1

3

(1-a2)2∴a₂=

1

2

，a₂=

1

2

a₁
由①得Tn+1=

4

3

-

1

3

(2-Sn+1)2    ②
②-①得an+12=

1

3

(4-Sn+1-Sn) (Sn+1-Sn)
即3a_n+1²=（4-S_n+1-S_n）a_n+1
  則3a_n+1=4-S_n+1-S_n    ③
  則 3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1     ④
④-③，得3a_n+2-3a_n+1=-a_n+2-a_n+1
a_n+2=

1

2

a_n+1，又a₂=

1

2

a₁
∴{a_n}是等比數列，通項公式a_n=(

1

2

)n-1．
（2）①假設存在正整數n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差數列，則
 2a_m=a_n+a_k，即2×(

1

2

)m-1=(

1

2

)n-1+(

1

2

)k-1
兩邊同除以(

1

2

)m-1得：2=(

1

2

)n-m+(

1

2

)k-m  ⑤
由已知n-m≤-1，∴(

1

2

)n-m≥2，且(

1

2

)k-m＞0
∴⑤式不成立．從而不存在滿足條件的n，m，k．
      ②若對于任意的正整數n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列
  則2^x+1a_n+1=a_n+2^ya_n+2，根據通項公式，得2^x-n+1=2^1-n+2^y-n-1，
兩邊同除以2^1-n，得2^x=1+2^y-2，∴x=1，y=2．

點評：本題考查等比數列的定義，性質，通項公式求解，考查轉化能力，分析解決問題能力，計算能力，反證法的運用能力．是難題．