Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，且直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點S (0， -

1

2

)且斜率為1的直線l交橢圓C于M、N兩點，求|MN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把拋物線和直線方程聯立消去y，根據△=0求出b，再根據兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形得出a和b的關系式，求得a；
（Ⅱ）將直線l：y=x-

1

2

與橢圓方程聯立，消去y，利用韋達定理，即可求|AB|．

解答：解：（Ⅰ）直線x-y+b=0與拋物線y²=4x聯立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直線x-y+b=0與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）將直線l：y=x-

1

2

與橢圓方程聯立，消去y可得3x²-2x-

3

2

=0
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2

3

，x₁x₂=-

1

2

∴|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

4 9 +2

=

2 11

3

點評：本題考查直線與拋物線、直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．