Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為的等邊三角形， 為的中點，側棱，點在上，點在上，且， .

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）根據平幾知識得，由線面垂直得，最后根據線面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得結論，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據方程組解各面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角相等或互補關系確定二面角的余弦值.

試題解析：（1）∵是等邊三角形， 為的中點，

∴，∴平面，得.①

在側面中，

， ，

∴，

∴，∴.②

結合①②，又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面

（2）解法一：如圖建立空間直角坐標系.

則， ， .

得， ，

設平面的法向量，則

即得取.

同理可得，平面的法向量

∴

則二面角的余弦值為.

解法二：由（1）知平面，∴， .

∴即二面角的平面角

在平面中，易知，∴，

設，∵

∴，解得.

即，∴

則二面角的余弦值為.