Question

【題目】綜合題。
（1）求函數(shù)f（x）=sin2x+cosx+1，x∈[﹣ ， ]的值域．
（2）求函數(shù) 的定義域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1﹣cos2x+cosx+1

=﹣cos2x+cosx+2，

令t=cosx，則t∈[0，1]，

則 y=﹣t2+t+2，t∈[0，1]；

所以當(dāng)t=0或1時(shí)，ymin=2；

當(dāng) 時(shí)， ；

所以f（x）的值域是

（2）解：∵函數(shù) ，

令 ，

解得 ；

所以 的定義域?yàn)? ；

令 ，

由y=tant在 ，k∈Z內(nèi)單調(diào)遞增，

令﹣ +kπ＜ + ＜ +kπ，k∈Z，

解得﹣ +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z，

所以 在（﹣ +2kπ， +2kπ），k∈Z上單調(diào)遞增

【解析】（1）化簡(jiǎn)f（x）為cosx的二次函數(shù)，用換元法令t=cosx，從而求出f（x）的值域；（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義域和單調(diào)性，即可求出函數(shù) 的定義域和單調(diào)增區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)，以及對(duì)三角函數(shù)的最值的理解，了解函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．