Question

【題目】設函數在內有極值．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求證：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然對數的底數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】分析：（1）函數的定義域為，求導數，利用函數在內有極值，可得在內有解，令，根據，可設，則，從而可求實數的取值范圍．

（2）求導函數確定函數的單調性，進而由，可得，由，可得，所以，又，即，可得在上單調遞增，從問題得證．

詳解：(1)易知函數f(x)的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)，

f′(x)＝－＝＝.

由函數f(x)在內有極值，可知方程f′(x)＝0在內有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．

不妨設0<α<，則β>e，又g(0)＝1>0，

所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.

(2)證明　由(1)知f′(x)>00<x<α或x>β，

f′(x)<0α<x<1或1<x<β，

所以函數f(x)在(0，α)，(β，＋∞)上單調遞增，在(α，1)，(1，β)上單調遞減．

由x1∈(0,1)得f(x1)≤f(α)＝ln α＋，

由x2∈(1，＋∞)得f(x2)≥f(β)＝ln β＋，

所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．

由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a＋2，

所以f(β)－f(α)＝ln β－ln＋a＝2ln β＋a·＝2ln β＋a·＝2lnβ＋β－.

記h(β)＝2ln β＋β－ (β>e)，

則h′(β)＝＋1＋＝2>0，

所以函數h(β)在(e，＋∞)上單調遞增，

所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.