Question

（文）橢圓具有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑忽略不計）從點A沿直線出發，經橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經過的路程是

4a或2（a-c）或2（a+c）

．

Answer 1

分析：可假設長軸在x軸，短軸在y軸，設A為左焦點，B是它的右焦點，對球的運動方向分沿x軸向左直線運動，沿x軸向右直線運動，及球從A不沿x軸，斜向上（或向下）運動，討論即可．

解答：解：假設長軸在x軸，短軸在y軸，設A為左焦點，B是它的右焦點，以下分為三種情況：
（1）球從A沿x軸向左直線運動，碰到左頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是2（a-c）；
（2 ）球從A沿x軸向右直線運動，碰到右頂點必然原路反彈，這時第一次回到A路程是2（a+c）；
（3）球從A不沿x軸斜向上（或向下）運動，碰到橢圓上的點C，反彈后經過橢圓的另一個焦點B，再彈到橢圓上一點D，經D反彈后經過點A．
此時小球經過的路程是4a．
綜上所述，從點A沿直線出發，經橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經過的路程是4a或2（a-c）或2（a+c）．
故答案為：4a或2（a-c）或2（a+c）．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，正確理解題意，分三種情況討論是關鍵，也是難點，屬于中檔題．