Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知定義域為大于0的數(shù)，求出f′（x）討論當(dāng)a-1=1時導(dǎo)函數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a-1＞1時討論函數(shù)的增減性；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+x，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍得到導(dǎo)函數(shù)一定大于0，則g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則利用當(dāng)x1＞x2＞0時有g（x1）-g（x2）＞0即可得證．

詳解：

（1）的定義域為.

.

（i）若即，則，故在上單調(diào)遞增.

（ii）若，而，故，則當(dāng)時，；

當(dāng)及時，，

故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.

（iii）若即，同理可得在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.

（2）考慮函數(shù)，

則

由于，故，即在單調(diào)增加，從而當(dāng)時有，即，故，

當(dāng)時，有.