Question

設函數．
（I）當k=-1時，判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（II）若f（x）在[e，+∞）上單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由k=-1代入，確定函數的解析式與定義域，判斷定義域是否關于原點對稱，若對稱再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據函數奇偶性的定義可得答案．
（II）根據復合函數的單調性，可得若f（x）在[e，+∞）上單調遞增，則在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，求導后構造關于k的不等式組，解得可得答案．
解答：解：（Ⅰ）當k=-1時，函數，
定義域為（-1，1），關于原點對稱．                               …（2分）
且．
所以，
即f（-x）=-f（x）．
所以當k=-1時，函數f（x）的奇函數．                            …（6分）
（Ⅱ）因為y=lnu是增函數，
所以由題意，在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．   …（8分）
即對于x∈[e，+∞）恒成立且g（e）＞0…（10分）
所以，解得．
所以k的取值范圍是．    …（12分）
點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用，（I）的關鍵是掌握證明函數奇偶性的方法及步驟，（II）的關鍵是分析出在[e，+∞）上是增函數，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．