【題目】由團(tuán)中央學(xué)校部、全國(guó)學(xué)聯(lián)秘書(shū)處、中國(guó)青年報(bào)社共同舉辦的2018年度全國(guó)“最美中學(xué)生”尋訪活動(dòng)結(jié)果出爐啦，此項(xiàng)活動(dòng)于2018年6月啟動(dòng)，面向全國(guó)中學(xué)在校學(xué)生，通過(guò)投票方式尋訪一批在熱愛(ài)祖國(guó)、勤奮學(xué)習(xí)、熱心助人、見(jiàn)義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺(jué)樹(shù)立和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的“最美中學(xué)生”.現(xiàn)隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的票數(shù)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定票數(shù)在65票以上（包括65票）定義為風(fēng)華組.票數(shù)在65票以下（不包括65票）的學(xué)生定義為青春組.
（1）如果用分層抽樣的方法從青春組和風(fēng)華組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？
（2）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取4人，用
表示所選4人中青春組的人數(shù)，試寫(xiě)出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
；（2）分布列見(jiàn)解析，
【解析】
（1） 用A表示“至少有1人在青春組”，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人在青春組的概率.
（2）由題知，抽取的30名學(xué)生中有12名學(xué)生是青春組學(xué)生，抽取1名學(xué)生是青春組學(xué)生的概率為
，從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是
，
服從二項(xiàng)分布
.由此能求出的分布列、數(shù)學(xué)期望.
解：（1） 用A表示“至少有1人在青春組”，
則至少有1人在青春組的概率為
；
（2）由題知，抽取的30名學(xué)生中有12名學(xué)生是青春組學(xué)生，抽取1名學(xué)生是青春組學(xué)生的概率為，
那么從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是，
又因?yàn)樗】傮w數(shù)量較多，抽取4名學(xué)生可以看出4次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，于是服從二項(xiàng)分布.的取值為0，1，2，3，4.且
.
所以得的分布列為：
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數(shù)學(xué)期望
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形ABCD為平行四邊形，且
，
，
平面PAC.
（1）求證：
平面
；
（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某校高三（1）班在一次語(yǔ)文測(cè)試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)诒痴b內(nèi)容方面失分較為嚴(yán)重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早晩讀時(shí)間站起來(lái)大聲誦讀，為了解同學(xué)們對(duì)站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度，對(duì)全班50名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行整理后制成如表：
考試分?jǐn)?shù) |
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頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
（1）欲使測(cè)試優(yōu)秀率為
，則優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少分？
（2）依據(jù)第1問(wèn)的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來(lái)大聲誦讀的態(tài)度與考試成績(jī)是否優(yōu)秀的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有
的把握認(rèn)為贊成與否的態(tài)度與成績(jī)是否優(yōu)秀有關(guān)系.
參考公式及數(shù)據(jù)：
，
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
過(guò)點(diǎn)
，且與
內(nèi)切，設(shè)的圓心
的軌跡為
，
（1）求軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線
不經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且與曲線交于點(diǎn)
兩點(diǎn)，若直線
與直線
的斜率之積為
，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為
和
的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長(zhǎng)為
，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)
．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)
為斜邊
的中點(diǎn)，作直角三角形
的內(nèi)接正方形對(duì)角線
，過(guò)點(diǎn)
作
于點(diǎn)
，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得
；
②由
可得
；
③由
可得
；
④由
可得
．
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】現(xiàn)給出三個(gè)條件：①函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為
.從中選出兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并以此為依據(jù)求解問(wèn)題.
已知函數(shù)
（
，
），_____，_____.求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值和最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在
處取得極值A，函數(shù)
，其中
…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求m的值，并判斷A是
的最大值還是最小值；
（2）求
的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式
成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足
.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）等差數(shù)列{bn}中，b1＝3a1，b2＝2，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
是拋物線
上位于
軸兩側(cè)的不同兩點(diǎn)
（1）若
在直線
上，且使得以
為頂點(diǎn)的四邊形恰為正方形，求該正方形的面積.
（2）求過(guò)
、
的切線與直線
圍成的三角形面積的最小值；
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