Question

已知函數(shù)f(x)=|x-

1

x

|．
（1）證明f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，試寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間并用定義證明；
（3）試在所給的坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，任取x∈D，都有f（-x）=f（x），從而得到f（x）為偶函數(shù)．
（2）[1，+∞）為增區(qū)間，（0，1]為減區(qū)間，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的特征，作出函數(shù)的圖象．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镈=（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（1分）
任取x∈D，都有f(-x)=|-x-

1

-x

|=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)．--（2分）
（2）[1，+∞）為增區(qū)間，（0，1]為減區(qū)間．----------------（2分）
任取1≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，1+

1

x1x2

＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
同理可證（0，1]上為減函數(shù)．-------（2分）
（3）f（x）的圖象如圖所示：---------（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，作函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．