Question

已知拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M．

(1)求拋物線方程；

(2)過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；

(3)以M為圓心，MB為半徑作圓．當K(m，0)是x軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)拋物線y2＝2px的準線＝5，∴p＝2． 　　∴拋物線方程為y2＝4x　　(4分) 　　(2)∵點A的坐標是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)．又∵F(1，0)， 　　∴ 　　MN的方程為，解方程組 　　∴N　　(4分) 　　(3)由題意得，圓M的圓心是點(0，2)，半徑為2． 　　當m＝4時，直線AK的方程為x＝4，此時，直線AK與圓M相離． 　　當m≠4時，直線AK的方程為 　　圓心M(0，2)到直線AK的距離，令d＞2．解得m＞1， 　　所以，當m＞1時，直線AK與圓M相離；當m＝1時，直線AK與圓M相切， 　　當m＜1時，直線AK與圓M相交　　(4分)