Question

21.已知函數f(x)=x²+x-1,α、β是方程f(x)=0的兩個根（α＞β）是f(x)的導數.設a₁＝1，a_n+1=a_n-(n=1,2,…).

(1)求α、β的值；

(2)證明：任意的正整數n，都有a_n＞;

(3)記b_n=(n=1,2,…),求數列{b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解： (1)解方程x²+x-1=0得x=    

由＞β知=,β=

(2) f' (x)=2x+1

=-=

下面我們用數學歸納法來證明該結論成立

①當n=1時，a₁=1＞=成立，

②假設n=k(k≥1, k∈N*)時，結論也成立，即a_k＞成立，

③那么當n=k+1時，

==-+＞-+=+=

                                                                                     

這就是說，當n=k+1時，結論也成立，故對于任意的正整數n，都有a_n＞

(3) ===

=()²

由題意知a_n＞,那么有a_n＞β，于是對上式兩邊取對數得

ln=ln()²=2 ln

即數列{b_n}為首項為b₁= ln()=2ln()，公比為2的等比數列。

故其前n項和

S_n=2ln() =2ln()(2ⁿ -1).