Question

已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓T經過．
（I）求橢圓T的標準方程；
（II）橢圓T上是否存在點E（m，n）使得直線l：x=my+n交橢圓于M，N兩點，且？若存在求出點E坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（I）設橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）
將坐標代入方程，得，∴，
∴橢圓的方程為…（4分）
（II）聯立方程，消去x可得（m²+3）y²+2mny+n²-3=0，
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
∴…（6分）
∴，即y₁y₂+（my₁+n）（my₂+n）=0
所以，
將韋達代入上式，化簡得：4n²=3（m²+1）①…（8分）
又點E（m，n）在橢圓上，∴，∴②
由①②得，
所以…（12分）
分析：（I）設橢圓方程為mx²+ny²=1，將坐標代入方程，即可求得橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓軛標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．