Question

（本小題滿分12分）
在四棱錐中，平面，底面為矩形，.
（I）當時，求證：；
（II）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

Answer 1

（I）略（II）

（I）當時，底面為正方形，
又因為,面…………………………2分
又面
…………………………3分
（II）因為兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，如圖所示，令，可得

則…………………4分
設，則
要使，只要
即………6分
由，此時。
所以邊上有且只有一個點，使得時，
為的中點，且…………………………8分
設面的法向量
則即解得…………………………10分
取平面的法向量
則的大小與二面角的大小相等
所以
因此二面角的余弦值為…………………………12分