Question

若函數f(x)=

(a-2)x+3a-2，0≤x≤2 ax，x＞2

是一個單調遞增函數，則實數a的取值范圍（　　）

• A、（1，2]∪[3，+∞）
• B、（1，2]
• C、（0，2]∪[3，+∞）
• D、[3，+∞）

Answer 1

分析：根據題意，分段函數為單調遞增函數，則兩段函數必須都為單調遞增函數且在交界處左側的函數值要小于等于右側的函數值，列出不等關系，求解即可得到實數a的取值范圍．

解答：解；∵函數f(x)=

(a-2)x+3a-2，0≤x≤2 ax，x＞2

是一個單調遞增函數，
∴y=（a-2）x+3a-2為單調遞增函數，y=a^x為單調遞增函數，且在交界x=2處左側的函數值要小于等于右側的函數值，
則有

a-2＞0 a＞1 (a-2)×2+3a-2≤a2

，即

a-2＞0 a＞1 a≤2或a≥3

，
解得a≥3，
∴實數a的取值范圍是[3，+∞）．
故選：D．

點評：本題考查了分段函數的應用，主要是分段函數的單調性問題．對于分段函數的問題，一般選用分類討論和數形結合的思想方法進行求解，根據分段函數的圖象很容易得到相關的性質，若選用分類討論的方法，則關鍵是討論需用哪段解析式進行求解．本題研究分段函數為單調遞增函數，則兩段函數必須都為單調遞增函數且在交界處左側的函數值要小于等于右側的函數值．屬于中檔題．