Question

【題目】已知一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離多1.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)是點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，即可求解拋物線的方程；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，代入作差，即可求得直線斜率，進(jìn)而利用正弦的點(diǎn)斜式方程，即可得到結(jié)論.

（1）∵動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線距離多1，

∴動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離比到直線的距離相等，

∴動(dòng)點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，方程為

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不為中點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)為直線斜率，設(shè)，

，得，

∴

又是線段的中點(diǎn)，∴，∴

故直線的方程為，化為一般形式即：