Question

已知無窮數列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為－2的等差數列；a_m＋1，
a_m＋2，…，a_2m是首項為，公比為的等比數列（其中 m≥3，m∈N*），并對任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．
（1）當m＝12時，求a₂₀₁₀；
（2）若a₅₂＝，試求m的值；
（3）判斷是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．
（2），m＝45，或15，或9．
（3）不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．

解（1）m＝12時，數列的周期為24．
∵2010＝24×83＋18，而a₁₈是等比數列中的項，
∴a₂₀₁₀＝a₁₈＝a_12＋6＝．
（2）設a_m＋k是第一個周期中等比數列中的第k項，則a_m＋k＝．
∵，∴等比數列中至少有7項，即m≥7，則一個周期中至少有14項．
∴a₅₂最多是第三個周期中的項．
若a₅₂是第一個周期中的項，則a₅₂＝a_m＋7＝．
∴m＝52－7＝45；
若a₅₂是第二個周期中的項，則a₅₂＝a_3m＋7＝．∴3m＝45，m＝15；
若a₅₂是第三個周期中的項，則a₅₂＝a_5m＋7＝．∴5m＝45，m＝9；
綜上，m＝45，或15，或9．
（3）2m是此數列的周期，
∴S_128m＋3表示64個周期及等差數列的前3項之和．
∴S_2m最大時，S_128m＋3最大．
∵S_2m＝，
當m＝6時，S_2m＝31－＝；
當m≤5時，S_2m＜；
當m≤7時，S_2m＜＝29＜．
∴當m＝6時，S_2m取得最大值，則S_128m＋3取得最大值為64×＋24＝2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立．