Question

【題目】如圖，在各棱長均為4的直四棱柱中，底面為菱形， ， 為棱上一點，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得平面，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得結論；

(2)利用題意建立空間直角坐標系，然后利用法向量求得二面角的余弦值，最后利用同角三角函數基本關系即可求得二面角的正弦值．

試題解析：

（Ⅰ）證明：∵底面為菱形，∴.

在直四棱柱中， 底面，∴．

∵，∴平面，

又平面，∴平面平面．　

（Ⅱ）解：設與交于點， 與交于點，以為原點， 、、分別為、、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則， ， ， ，

則， ， .

設為平面的法向量，

則取，則．

設為平面的法向量，

則取，則．

∴，

∴二面角的正弦值為．