Question

設S_n為數列{a_n}的前n項和，若

S2n

Sn

（n∈N^*）是非零常數，則稱該數列為“和等比數列”．
（1）若數列{2 bn}是首項為2，公比為4的等比數列，試判斷數列{b_n}是否為“和等比數列”；
（2）若數列{c_n}是首項為c₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且數列{c_n}是“和等比數列”，試探究d與c₁之間的等量關系．

Answer 1

分析：（1）根據數列{2 bn}是首項為2，公比為4的等比數列，根據等比數列的通項公式求得b_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，根據等比數列的求和公式求得T_n和T_2n，進而可求得

T2n

Tn

=4，判斷出數列{b_n}為“和等比數列”；
（2）設數列{c_n}的前n項和為R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，根據等差數列的求和公式求得R_n和R_2n，代入

R2n

Rn

=k中，求得d=2c₁．

解答：解：（1）因為數列{2 bn}是首項為2，
公比為4的等比數列，
所以2 bn=2•4n-1=22n-1，
因此b_n=2n-1．
設數列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=n²，T_2n=4n²，所以

T2n

Tn

=4，
因此數列{b_n}為“和等比數列”；

（2）設數列{c_n}的前n項和為R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，
因為數列{c_n}是等差數列，
所以Rn=nc1+

n(n-1)

2

d，R2n=2nc1+

2n(2n-1)

2

d，
所以

R2n

Rn

=

2nc1+ 2n(2n-1) 2 d

nc1+ n(n-1) 2 d

=k對于n∈N^*都成立，
化簡得，（k-4）dn+（k-2）（2c₁-d）=0，
則

(k-4)d=0 (k-2)(2c1-d)=0

，因為d≠0，所以k=4，d=2c₁，
因此d與c₁之間的等量關系為d=2c₁．

點評：本題主要考查了等比數列的性質．在高考中等比數列常用對數函數、不等式、極限等知識綜合考查，應多注意等比數列與其他知識的聯系．