Question

已知向量、、、及實數x、y滿足，，，若，且．
（1）求y關于x的函數關系式y=f（x）及其定義域；
（2）若x∈[1，2]時，不等式f（x）≥mx-16恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，由，知=1+（x-3）²，由此能求出y關于x的函數關系式y=f（x）及其定義域．
（2）當1≤x≤2時，欲使f（x）≥mx-16恒成立，即m≤x+-3恒成立，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（1）∵，
∴，
又，
∴=1+（x-3）²，
∵，
∴1+（x-3）²≤10，解得0≤x≤6，
又∵，∴，
而=-y+x（x-3），
∴-y+x（x-3）=0，
∴y=f（x）=x（x-3），其定義域為[0，6]．
（2）當1≤x≤2時，
欲使f（x）≥mx-16恒成立，
即使x²-3x≥mx-16恒成立，
∴mx≤x²-3x+16，
即m≤x+-3恒成立，
令g（x）=x+，
，
當1≤x≤2時，g′（x）＜0，
∴g（x）=x+是減函數，
∴[g（x）]_min=g（2）=2+=10，
∴m≤x+-3≤10-3=7
∴m≤7．
點評：本題考查平面向量的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．