Question

【題目】已知正三棱柱的所有棱長都相等，分別為的中點.現有下列四個結論：

：； ：；

：平面； ：異面直線與所成角的余弦值為.

其中正確的結論是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：根據題意，判斷AC1與MN不平行，是異面直線，知p1錯誤；利用線面垂直的定義判斷A1C⊥C1N，知p2正確；判斷B1C⊥平面AOP，得出B1C與平面AMN不垂直，知p3錯誤；找出異面直線AB與MN所成的角，計算余弦值，知p4正確．

詳解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等，M，N分別為B1C1，BB1的中點；

對于p1：如圖①所示，

MN∥BC1，BC1∩AC1=C1，

∴AC1與MN不平行，是異面直線，p1錯誤；

對于p2：如圖②所示，

連接AC1，交A1C于點O，連接ON，

易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，

∴ON⊥A1C，

又ON∩AC1=O，

∴A1C⊥平面ONC1，

∴A1C⊥C1N，p2正確；

對于p3：如圖③所示，

取BC的中點O，連接AO，BC1，

過點O作OP∥BC1，交CC1于點P，

連接AP，則AO⊥平面BCC1B1，

∴AO⊥B1C，

又BC1∩⊥OP，

∴B1C⊥OP，

∴B1C⊥平面AOP，

又平面ABC1與平面AOP有公共點A，

∴B1C與平面AMN不垂直，p3錯誤；

對于p4，如圖④所示，

連接BC1，AC1，則MN∥BC1，

∴∠ABC1是異面直線AB與MN所成的角，

設AB=1，則AC1=BC1=，

∴cos∠ABC1=p4正確．

綜上，其中正確的結論是p2、p4．

故答案為：C