Question

如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，周圍是四個(gè)全等的弓形．已知O為正方形的中心，G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長(zhǎng)線交弧AD于點(diǎn)H．設(shè)弧AD的長(zhǎng)為l，．
（1）求l關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時(shí)，招貼畫最優(yōu)美．證明：當(dāng)角θ滿足：時(shí)，招貼畫最優(yōu)美．

Answer 1

解：（1）當(dāng)θ∈時(shí)，點(diǎn)P在線段OG上，AP=；
當(dāng)θ∈時(shí)，點(diǎn)P在線段GH上，AP=；
當(dāng)θ=時(shí)，AP=a．
綜上所述AP=，θ∈，
所以，弧AD的長(zhǎng)L=．
故所求函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)=，θ∈．
（2）證明：當(dāng)θ∈（，）時(shí)，OP=OG﹣PG=a﹣；
當(dāng)θ∈時(shí)，OP=OG+GH=a+；
當(dāng)θ=時(shí)，OP=a．
所以，OP=a﹣，θ∈．
從而，，θ∈．

所以：當(dāng)θ滿足θ=tan（θ﹣）時(shí)，函數(shù)f（θ）即取得最大值，此時(shí)招貼畫最優(yōu)美．