Question

【題目】已知函數(shù)
（1）判斷f（x）的單調性，說明理由．
（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．

Answer 1

【答案】
（1）解：4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定義域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上單調增．

證法一：設0＜x1＜x2，則 =

又∵0＜x1＜x2，∴ ，

∴ ，即

∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上單調增．

證法二：∵y=log4x在（0，+∞）上都是增函數(shù)，

y=4x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)且y=4x﹣1＞0

∴ 在（0，+∞）上也是增函數(shù)

（2）解： ，

∴f（2x）=f﹣1（x），即0＜42x﹣1=4x+142x﹣4x﹣2=0，解得4x=﹣1（舍去）或4x=2，

∴

經(jīng)檢驗， 是方程的根

【解析】（1）利用函數(shù)單調性的定義，或復合函數(shù)單調性的判定方法，可得結論；（2）求出f﹣1（x），可得方程，解方程，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識，掌握復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”，以及對函數(shù)的零點的理解，了解函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點．