Question

已知△ABC的三個頂點在以O為球心的球面上，且cosA=

2 2

3

，BC=1，AC=3，三棱錐O-ABC的體積為

14

6

，則球O的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體,球的體積和表面積

專題：球

分析：通過A的余弦函數求出正弦函數值，求出B的大小，利用三棱錐O-ABC的體積為

14

6

，求出O到底面的距離，求出球的半徑，然后求出球的表面積．

解答： 解：△ABC的三個頂點在以O為球心的球面上，且cosA=

2 2

3

，BC=1，AC=3，
∴sinA=

1-cos2A

=

1

3

，
由正弦定理可知：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=1，B=90°．斜邊AC的中點就是△ABC的外接圓的圓心，
∵三棱錐O-ABC的體積為

14

6

，
又AB=

AC2-BC2

=2

2

，
∴

1

3

×

1

2

•AB•BC•h=

14

6

，
∴h=

7

2

，
∴R=

( 7 2 )2+( 3 2 )2

=2，
球O的表面積為4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評：本題考查球的表面積的求法，球的內含體與三棱錐的關系，考查空間想象能力以及計算能力．