Question

【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍;

（2）設兩個極值點分別為：，，證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）由題得，令，則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區間內至少有兩個不同的零點，再利用導數得到，解不等式即得解；

（2）分析得到要證：，只需證明，即證，不妨設，即證，構造函數構造函數，其中，證明即得證.

（1）由題意可知，的定義域為，

且，

令，

則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區間內至少有兩個不同的零點.

由可知，

當時，恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數在區間上單調遞增；

由得，，即函數在區間上單調遞減；

故要滿足題意，必有，解得.

（2）證明：由（1）可知，，

故要證，

只需證明，

即證，不妨設，即證，

構造函數，其中，

由，

所以函數在區間內單調遞減，所以得證.

即證.