Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增．當(dāng)x∈[1-a，+∞）時(shí)，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-∞，

1

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可將x∈[1-a，+∞）時(shí)，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為x＞a恒成立，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，易得實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
且不等式f（x-2a）+f（x）＞0當(dāng)x∈[1-a，+∞）時(shí)恒成立，
∴f（x-2a）＞f（-x）當(dāng)x∈[1-a，+∞）時(shí)恒成立
又∵函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增．
∴x-2a＞-x，即x＞a當(dāng)x∈[1-a，+∞）時(shí)恒成立
即1-a＞a，解得a＜

1

2

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

2

)
故答案為：(-∞，

1

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中利用函數(shù)的性質(zhì)，將已知中的不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為x＞a恒成立，是解答的關(guān)鍵．