Question

（本小題滿分14分）
已知函數.
(1)求證：函數在上是單調遞增函數；
(2)當時，求函數在上的最值；
(3)函數在上恒有成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1) 函數在上是單調遞增函數. (2) 的最小值為，此時；無最大值. (3) 的取值范圍是. 

試題分析：(1)證明函數在上是單調遞增函數本質就是證明在上恒成立.
（2）當時,令，然后得到極值點，進而求出極值，再與值比較從而得到f(x)的最大值與最小值.
(3) 函數在上恒有成立問題應轉化為,
然后利用導數研究f(x)在區間[1,2]的極值，最值即可求出其最小值，問題得解.
(1)（法一：定義法）
任取且,則.                ········1分
∵，
∴.                                                 ·······3分
∴ 函數在上是單調遞增函數.                           ········4分
（法二：導數法）
當，
∴ 函數在上是單調遞增函數.                           ········4分
(2) 當時，；
由（1）知函數在上是單調遞增函數.                      ·······5分
∴，即                              ·······7分
∴ 的最小值為，此時；無最大值.                       ·······8分
(3) 依題意， ，即在上恒成立.
∵函數在上單調遞減，∴                  ······11分
∴ ，
又. ∴
故的取值范圍是.                                           ·······14分
點評：（1）連續可導函數在某個區間I上單調遞增（減）等價于在區間I上恒成立.
（2）在求某個區間上的最值時，應先求出極值，然后從極值與區間端點對應的函數值當中找到最大值和最小值.
（3）不等式恒成立問題一般要轉化為函數最值來研究.