Question

已知函數f(x)＝x³－ax²＋bx＋c的圖象為曲線E．

(1)若函數f(x)在x＝－1和x＝3時取得極值，求a、b的值；

(2)若曲線E上存在點P，使曲線E在P點處的切線與x軸平行，求a、b滿足的關系式；

(3)在(1)的條件下，當x∈[－2，6]時，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)(x)＝3x2－2ax＋b， 　　∵f(x)在x＝－1，3時存在極值， 　　∴－1、3是方程3x2－2ax＋b＝0的兩實數根． 　　∴　∴ 　　(2)∵曲線E上存在與x軸平行的切線， 　　∴(x)＝0有實數解，即3x2－2ax＋b＝0有實數解． 　　∴Δ＝(－2a)2－12b≥0． 　　∴a、b的關系式為a2≥3b． 　　(3)f(x)＝x3－3x2－9x＋c， 　　當x變化時，(x)，f(x)變化情況如下表 　　x∈[－2，6]時，f(x)的最大值為c＋54， 　　要使f(x)＜2|c|恒成立，只需c＋54＜2|c|， 　　c≥0時，c＋54＜2c， 　　∴c＞54；c＜0時，c＋54＜－2c． 　　∴c＜－18． 　　∴c的范圍是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．