Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1 ， ∠ABC=90°，D是BC的中點．

（1）求證：A1B∥平面ADC1；
（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；
（3）試問線段A1B1上是否存在點E，使AE與DC1成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接A1C，交AC1于點O，連接OD．

由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點．

又D為BC中點，所以OD為△A1BC中位線，

所以 A1B∥OD，

因為 OD平面ADC1，A1B平面ADC1，

所以 A1B∥平面ADC1．

（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，

故BA，BC，BB1兩兩垂直．

如圖建立空間直角坐標系B﹣xyz．設BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），D（1，0，0）．

所以 ，

設平面ADC1的法向量為 =（x，y，z），則有

所以 取y=1，得 =（2，1，﹣2）．

平面ADC的法向量為 =（0，0，1）．

由二面角C1﹣AD﹣C是銳角，得 = ．

所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值為 ．

（3）解：假設存在滿足條件的點E．

因為E在線段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可設E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．

所以 ， ．

因為AE與DC1成60°角，所以 ．

即 ，解得λ=1，舍去λ=3．

所以當點E為線段A1B1中點時，AE與DC1成60°角．

【解析】（1）證明線面平行，可以利用線面平行的判定定理，只要證明 A1B∥OD即可；（2）可判斷BA，BC，BB1兩兩垂直，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求得平面ADC1的法向量、平面ADC的法向量，利用向量數量積可求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值；（3）假設存在滿足條件的點E，根據AE與DC1成60°角，利用向量的數量積，可得結論．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．