Question

如圖，四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，D為四面體OABC外一點．給出下列命題．
①不存在點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形
②不存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐
③存在點D，使CD與AB垂直并且相等
④存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上
其中真命題的序號是（ ）

A．①②
B．②③
C．③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：對于①可構造四棱錐CABD與四面體OABC一樣進行判定；對于②，使AB=AD=BD，此時存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐；對于③取CD=AB，AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，對于④先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r，可判定④的真假．
解答：解：∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
當四棱錐CABD與四面體OABC一樣時，即取CD=3，AD=BD=2
此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故①不正確
使AB=AD=BD，此時存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐，故②不正確；
取CD=AB，AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確；
先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可
∴存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確
故選D
點評：本題主要考查了棱錐的結構特征，同時考查了空間想象能力，轉化與劃歸的思想，以及構造法的運用，屬于基礎題．